求非齐次线性方程组的解x1+x2+x3=1ax1+bx2+cx3=da^2x1+b^2x2+c^2x3=d^2讨论何时有

3元线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0
而系数行列式 |A| =
1 1 1
a b c
a^2 b^2 c^2
=(b-a)(c-a)(c-b).
所以a,b,c 两两不相等时方程组有唯一解.
设a,b,c 有两个相等
不妨设 a=b
方程组的增广矩阵 =
1 1 1 1
a a c d
a^2 a^2 c^2 d^2
-->
r3-2r2,r2-2r1
1 1 1 1
0 0 c-a d-a
0 0 c(c-a) d(d-a)
若 c=a,d≠a,则方程组无解
若 c=a,d=a,则方程组有无穷多解
若 c≠a
方程组的增广矩阵 -->
1 1 1 1
0 0 1 (d-a)/(c-a)
0 0 c d(d-a)/(c-a)
r3-cr2
1 1 1 1
0 0 1 (d-a)/(c-a)
0 0 0 (d-c)(d-a)/(c-a)
当 d=c或d=a 时,有无穷多解
当 d≠c且d≠a 时,方程组无解
综上有
(1) a,b,c 两两不相等时方程组有唯一解
(2) a,b,c 都相等且等于d时方程组有无穷多解
a,b,c 都相等但不等于d时方程组无解
(3) a,b,c 两个相等,d若等于a,b,c之一,则有无穷多解; 否则无解.
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