线性代数,居余马,第二章习题,P101第77题,解题过程,答对奖励10财富

首先有 A^2 =α(α'α)α' = 2αα'=2A. (α'为α的转置)
即 A^2 - 2A = 0.
设 λ为A的特征值, 则 λ^2-2λ = 0.
所以 λ(λ-2) = 0.
所以 λ=0 或 λ=2.
又 因为 r(A) = r(αα') = 1.
所以 r(A) = 1.
所以A的特征值为 2,0,0
所以 kI - A^n 的特征值为 k-2^n, k,k
所以 |kI - A^n| = k^2 (k-2^n).
注: 此方法可推广到一般情况, 即α是n维非零向量的情况
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以下以α'表示转置
首先要注意到A^2＝A×A＝αα'αα'＝α(α'α)α'＝(α'α)αα'＝2αα'＝2A，所以由此可以得到A^n＝2^(n-1)A
其次，计算三阶行列式|λI-A^n|，这就是一个很简单的事情了。因为A^n的第二行全是0，所以可以把|λI-A^n|按照第二行展开，转化为一个二阶行列式的计算，结果应该是k^3 - 2^n×k^2...