已知椭圆C：x24+y23＝1的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时

解题思路：由椭圆C：

x2

4

+

y2

3

＝1可得c＝

a2−b2

，左焦点F的坐标．由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可．设直线l的方程为my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式可得y_P，利用S_△PFO=

1

2

|OF|•|yP|和基本不等式即可得出．

由椭圆C：
x2
4+
y2
3＝1可得a²=4，b²=3，∴c＝
a2−b2=1．
∴左焦点F（-1，0）．
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，
设直线l的方程为my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

my＝x+1

x2
4+
y2
3＝1化为（4+3m²）y²-6my-9=0，
∴y1+y2＝
6m
4+3m2，
∴yP＝
y1+y2
2=[3m
4+3m2，
∴S_△PFO=
1/2|OF|•|yP|=
|3m|
2(4+3m2)]=[3
2(
4
|m|+3|m|)≤
3
2×2
12=

3/8]，当且仅当|m|=
2
3
3时取等号．
此时△PFO的最大值为

3
8，直线l的方程为±
2
3
3y＝x+1．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．

考点点评： 本题考查了直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积最大值问题、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．