我爱四条
春芽
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设当直线OA斜率存在且不为0时,设方程为y=kx,
∵A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.∴直线OB方程为y=(-1/k)x
设A(x1,y1),B(x2,y2)
把y=kx代入x²/a²+y²/b²=1
得x1²=a²b²/(b²+a²k²)
∴y1²=k²a²b²/(b²+a²k²)
把y=(-1/k)/x代入x²/a²+y²/b²=1
得x2²=k²a²b²/(a²+b²k²)
∴y2²=a²b²/(a²+b²k²)
∴1/OA²+1/OB²=1/(x1²+y1²)+1/(x2²+y2²)
=1/{[a²b²/(b²+a²k²)]+[k²a²b²/(b²+a²k²)]}+1/{[k²a²b²/(a²+b²k²)]+[a²b²/(a²+b²k²)]}
=(a²+b²)/a²b²
当直线OA,OB其中一条斜率不存在时,则另一条斜率为0.此时1/OA²+1/OB²=(a²+b²)/a²b²
综上所述,1/OA²+1/OB²=(a²+b²)/a²b²
1年前
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