已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点

解题思路：（1）根据题意，f（-x）+f（x）=0恒成立，利用比较系数法可得b=d=0，然后根据导数的几何意义，得出f'（3）=8且f（3）=6，联解方程组可得a、c的值，最终可得f（x）的解析式；
（2）用直线y=x与函数y=f（x）联解，得出交点横坐标为0或±

6

，根据题意得出[m，n]可能的区间为[-

6

，0] 或[0，

6

] 或[-

6

，

6

]．然后利用导数来研究函数f（x）的单调性，得出其单调区间后，分别讨论它在各区间上的值域，对照题意可得符合条件的区间为[-

6

，

6

]．

（1）∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，
即2bx²+2d=0，∴b=d=0
又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
即y-6=8（x-3），…（2分）
∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax³+cx，
∴f'（x）=3ax²+c…（3分）
∴

f′(3)＝27a+c＝8
f(3)＝27a+3c＝6解得

a＝
1
3
c＝−1．
故所求的解析式为f(x)＝
1
3x3−x．…（6分）
（2）解

y＝
1
3x3−x
y＝x得x＝0或x＝±
6
又f'（x）=x²-1，由f'（x）=0得x=±1，
且当x＝[−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求闭区间上函数的最值和导数的几何意义等知识点，属于中档题．