已知,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠ABC的平分线AD于M,交∠DAC的平分线AE于N,试比较AM与EM的大小

∵AD⊥BC即∠ADB=∠ADC=90°
∠BAC=90°
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°
∴∠ABD=∠CAD
∴∠C=∠BAD
∵BN平分∠ABC
AE平分∠DAC
∴∠DAE=∠CAE
∠ABN=∠CBN
即∠MAN=∠DAE=∠CAE
即∠DBM=∠CBN=∠ABN
∴∠MAN=∠DBM
∵∠AMN=∠BMD
∴△AMN∽△BDM
∴∠ANM=∠MDB=∠ADB=90°
即∠BN⊥AE
∵∠BEA=∠C+∠CAE
∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠CAE
∴∠BAE=∠BEA
∴△ABE是等腰三角形
∵BN⊥AE
∴BN是高,中线
∴BN是AE的中垂线
∴AM=ME

因为AD⊥BC
所以∠ADC=90
所以∠DAC+∠C=90，∠DAE+∠AED=90
因为∠C+∠ABC=90
所以∠DAC=∠ABC
因为∠DAC=2∠DAE，∠ABC=2∠NBE
所以∠DAE=∠NBE
因为∠DAE+∠AED=90
所以∠NBE+∠AED=90
所以BN⊥AE
因为BN是∠ABE的平分线

可知道∠DAC=∠ABC，所以∠EBN=∠ABM=1/2∠ABC=∠EAD=∠EAC=1/2∠DAC，又因为∠MNE=∠EBN，所以ΔMNE∽ΔEBN，则∠NEM=∠NBE，所以∠NEM=∠EAD，在ΔAME中，∠NEM=∠EAD，所以AM=EM