△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在这个三角形内取一点D,使∠ABD=30°,且BD=BA,求证：AD=CD.

证明:以AD为边在△ADB内作等边△ADG,连接BG
∵BD＝BA,∠ABD＝30
∴∠BDA＝∠BAD＝（180-∠ABD）/2＝75
∵等边△ADG
∴AG＝DG＝AD
∵BD＝BA,BG＝BG
∴△ABG≌DBG （SSS）
∴∠ABG=∠DBG=∠ABD/2＝15
∴∠GAB=∠BAD-∠GAD＝75-60=15
∴∠ABG=∠GAB
∴GB=GA
∵∠BAC＝90
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=15
∴∠DAC=∠ABG
∵AB＝AC
∴△ACD≌△ABG （SAS）
∴CD＝GB
∴CD＝AD
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