已知函数f(x)＝2x+alnx−2(a＞0)．

解题思路：（1）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），从而求得a的取值范围．
（2）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到

g(e−1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出实数b的取值范围．

（1）f′(x)＝−
2
x2+
a
x=[ax−2
x2，由f′（x）＞0解得x＞
2/a]，
由f′（x）＜0得0＜x＜
2
a
∴f（x）在区间(
2
a，+∞)上单调递增，在区间(0，
2
a)上单调递减
∴当x＝
2
a时，函数f（x）取得最小值ymin＝a+aln
2
a−2
由于对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln
2
a−2＞2(a−1)
解得0＜a＜
2
e，故a的取值范围是(0，
2
e)
（2）依题意得g(x)＝
2
x+lnx+x−2−b，则g′(x)＝
x2+x−2
x2
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以

g(e−1)≥0
g(e)≥0
g(1)＜0
解得1＜b≤
2
e+e−1，
所以b的取值范围是(1，
2
e+e−1]．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于中档题．