已知函数f（x）=2x+alnx．

解题思路：（1）欲使f（x）在[1，+∞）上为增函数，只需f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，然后利用参变量分离法求出a的取值范围即可；
（2）将x₁，x₂代入函数f（x）的解析式整理，再由基本不等式可证得结论；
（3）存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-[1/2]x²成立即将a分离，使得a大于等于不等式另一侧函数在[1，e]上的最小值即可．

（1）∵f（x）=2x+alnx，
∴f′（x）=2+[a/x]，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=2+[a/x]≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥（-2x）_max=-2，
∴实数a的取值范围为[2，+∞）；
（2）由题意可得
f(x1)+f(x2)
2=
2x1+alnx1+2x2+alnx2
2=（x₁+x₂）+[a/2]ln（x₁•x₂）=（x₁+x₂）+aln
x1x2，
f(
x1+x2
2)=（x₁+x₂）+aln
x1+x2
2，
∵正数x₁、x₂总有
x1+x2
2≥
x1x2，
∴ln
x1+x2
2≥ln
x1x2，
∵a＜0，
∴aln
x1+x2
2≤aln

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及存在性问题和基本不等式的应用，同时考查了转化的思想和分析问题的能力和运算求解的能力．属于难题．