2 |
x |
alex59919 种子
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(Ⅰ)直线y=x+2的斜率为1.
函数y=f(x)的导数为f′(x)=−
2
x2+
a
x,
则f′(1)=-[2/1]+[a/1],所以a=1.(5分)
(Ⅱ)f′(x)=(ax-2)/x2,x∈(0,+∞).
①当a=0时,在区间(0,e]上f′(x)=-2/x2,此时f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为F(e)=[2/e].
②当[2/a]<0,即a<0时,在区间(0,e]上f′(x)<0,此时f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=[2/e]+a.
③当0<[2/a]<e,即a>[2/e]时,
在区间(0,
2
a)上f′(x)<0,此时f(x)在区间(0,
2
a)上单调递减;
在区间(
2
a,e]上f′(x)>0,此时f(x)在区间(
2
a,e]上单调递增;
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f([2/a])=a+aln2.
④当[2/a≥e,即0<a≤
2
e]时,
在区间(0,e]上f′(x)≤0,此时f(x)在区间(0,e]上为单调递减,
则f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=[2/e]+a.
综上所述,当a≤
2
e时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为[2/e]+a;
当a>[2/e]时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+aln[2/a].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 该题考查求函数的导数,以及直线垂直的位置关系,要注意讨论a的取值范围,属于中等题,不算很难
1年前
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