一个关于正交单位向量组和正交矩阵的题目
一个关于正交单位向量组和正交矩阵的题目
已知V1,V2,V3、、、Vn是正交单位向量组,那么对于N阶方阵A,若AV1,AV2,、、、AVn也是正交单位向量组,求证A是正交矩阵.
已知V1,V2,V3、、、Vn是正交单位向量组,那么对于N阶方阵A,若AV1,AV2,、、、AVn也是正交单位向量组,求证A是正交矩阵.
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最简单的话,就是两个规范正交基的过度矩阵一定是正交矩阵.本题中的A就是两个规范正交基的过渡矩阵.
具体证明的话.（你用vi实在别扭,最好改一下）
记B=（V1,V2,V3,...,Vn）
C=（AV1,AV2,...,AVn)
因为AVi有意义,所以vi均为n维列向量,且B,C均为正交矩阵（列向量组为单位正交向量组的矩阵是正交矩阵）
C=AB
A=CB^T
A^T=BC^T=(B^T)^(-1)C^(-1)=(CB^T)^(-1)=A^(-1)
故A是正交矩阵
具体证明的话.（你用vi实在别扭,最好改一下）
记B=（V1,V2,V3,...,Vn）
C=（AV1,AV2,...,AVn)
因为AVi有意义,所以vi均为n维列向量,且B,C均为正交矩阵（列向量组为单位正交向量组的矩阵是正交矩阵）
C=AB
A=CB^T
A^T=BC^T=(B^T)^(-1)C^(-1)=(CB^T)^(-1)=A^(-1)
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