（2007•朝阳区一模）已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y＝12x+112上．数列{bn}满足b

解题思路：（1）根据点(n，

Sn

n

)在直线y＝

1

2

x+

11

2

上可得到

Sn

n

＝

1

2

n+

11

2

整理可得到Sn＝

1

2

n2+

11

2

n．，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n的表达式，再对n=1时进行验证即可得到数列{a_n}的通项公式；根据b_n+2-2b_n+1+b_n=0可转化为b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n得到{b_n}为等差数列，即可求出{b_n}的通项公式．
（2）将（1）中的{a_n}、{b_n}的通项公式代入到{c_n}中然后进行裂项，可得到前n项和Tn＝

1

2

[(1−

1

3

)+(

1

3

−

1

5

)+(

1

5

−

1

7

)++(

1

2n−1

−

1

2n+1

)]，进而可确定T_n的表达式，然后作差可验证T_n单调递增，求出T_n的最小值，然后令最小值大于[k/57]求出k即可．

（Ⅰ）由题意，得
Sn
n＝
1
2n+
11
2，即Sn＝
1
2n2+
11
2n．
故当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝(
1
2n2+
11
2n)−[
1
2(n−1)2+
11
2(n−1)]＝n+5．
注意到n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}为等差数列，于是
9(b3+b7)
2＝153．
而b3＝11，故b7＝23，d＝
23−11
7−3＝3，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）cn＝
3
(2an−11)(2bn−1)＝
3
[2(n+5)−11][2(3n+2)−1]
=[1
(2n−1)(2n+1)＝
1/2(
1
2n−1−
1
2n+1)．
所以，Tn＝c1+c2+…+cn＝
1
2[(1−
1
3)+(
1
3−
1
5)+(
1
5−
1
7)++(
1
2n−1−
1
2n+1)]
=
1
2(1−
1
2n+1)＝
n
2n+1]．
由于Tn+1−Tn＝
n+1
2n+3

点评：
本题考点： 数列递推式；函数恒成立问题；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查数列的裂项法和求数列通项公式的方法．考查综合运用能力．