（2007•金山区一模）阅读下面所给材料：已知数列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求数列的通项an．

n

k＝1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

（1）令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+4，所以x=-2，故原递推式a_n=3a_n-1+4可转化为：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此数列{a_n+2}是首项为a₁+2，公比为3的等比数列．
所以a_n+2=（a₁+2）×3^n-1，所以a_n=3ⁿ-2；
对于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，
该点就是它与直线y=x的交点．
（2）令d_k=[1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)=
1
lg3klg3k+1
=（
1/lg3]）²[1
k(k+1)=（
1/lg3]）²（[1/k]-[1/k+1]）
S_n=
n

k＝1
1
lg(ak+2)lg(ak+1+2)=d₁+d₂+…+d_n
=（[1/lg3]）²[（[1/1−
1
2]）+（[1/2−
1
3]）+（[1/3−
1
4]）++（[1/n−
1
n+1]）]
=（[1/lg3]）²[1−
1
n+1]

lim
n→∞S_n=（[1/lg3]）²
（3）数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，则c_n+1=3c_n+2，
所以c_n+2=3（c_n-1+2），因此数列{c_n+2}是首项为c₁+2，公比为3的等比数列．
所以c_n+2=（c₁+2）×3^n-1，所以c_n=3ⁿ-2，
lgb_n=c_n=3ⁿ-2；b_n=103n−2

点评：
本题考点： 数列的极限；数列递推式．

考点点评： 本题以新定义为载体，主要考查了由形如an+1=pan+q型的数列的递推公式，利用构造等比数列的方法求数列的通项公式，关键是要灵活利用构造转化的方法，考查了裂项求和的方法求解数列的和，注意裂项相消后余留下的项是考生容易出现问题的地方．

1年前

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