已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A（2，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x

解题思路：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1，再由点A关于y=x对称点的坐标为（0，

2

），能求出双曲线C的方程．
（2）设直线ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为

2

，设直线l′y=kx+m，应有

| 2 k+m|

k2+1

＝

2

，由此能求出k的值及此时B点的坐标．

（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d=
|
2k|

k2+1=1，解得k=±1
即渐近线为y=±x，又点A关于y=x对称点的坐标为（0，
2）
∴a=
2=b，所求双曲线C的方程为y²-x²=2．
（2）设直线ly=k（x-
2）（0＜k＜1），
依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为
2
设直线l′y=kx+m，应有
|
2k+m|

k2+1

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求法和求k的值及此时B点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．