已知F1'F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0.b>0)的左右焦点,P为双曲线右支上任一点.若|PF1|2

已知F1'F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0.b>0)的左右焦点,P为双曲线右支上任一点.若|PF1|2与|PF2|的比的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )

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易知,PF1-PF2=2a.===>PF1=2a+PF2.===>|PF1|²/|PF2|=[2a+PF2]²/|PF2|=4a+|PF2|+[4a²/|PF2|]≥4a+4a=8a.等号仅当|PF2|=2a时取得.故PF2=2a,PF1=4a.在⊿PF1F2中,PF1=4a,PF2=2a,F1F2=2c,由“在⊿中,任一边小于另两边的和,而大于这两边的差”可知,2a＜2c＜6a.===>a＜c＜3a,===>1＜e＜3.即e∈(1,3).

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