一道关于三角形的几何题如图：在直角三角形ABC中,D为AC上一点,且AB= √2BD,E为BD中点,CF为CE延长线,求
一道关于三角形的几何题
如图：在直角三角形ABC中,D为AC上一点,且AB= √2BD,E为BD中点,CF为CE延长线,求证ΔADF为等腰三角形
如图：在直角三角形ABC中,D为AC上一点,且AB= √2BD,E为BD中点,CF为CE延长线,求证ΔADF为等腰三角形
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证明：作DG//CF,交AB于G.∵BE=ED,∴BF=FG
而FG/FA=CD/CA => BF/FA=CD/CA =>(BF+FA)/FA=(CD+CA)/CA
=>AB/FA=(CD+CA)/CA =>CD+CA=AB·AC/AF .①
∵AB=√2BD,∴AB²=AC²+BC²=AC²+BD²-DC²,又BD=√2AB/2
∴AB²/2=AC²-DC²=(AC-DC)(AC+DC)=AD(AC+DC),将①代入可得
AB²=2AD·AB·AC/AF =>AB/AC=2AD/AF,记AF中点为H
则有AB/AC=AD/AH =>△ADH∽△ABC =>DH⊥AF
∴DH既是△DAF的高线又是中线,∴DA=DF,即△ADF等腰
而FG/FA=CD/CA => BF/FA=CD/CA =>(BF+FA)/FA=(CD+CA)/CA
=>AB/FA=(CD+CA)/CA =>CD+CA=AB·AC/AF .①
∵AB=√2BD,∴AB²=AC²+BC²=AC²+BD²-DC²,又BD=√2AB/2
∴AB²/2=AC²-DC²=(AC-DC)(AC+DC)=AD(AC+DC),将①代入可得
AB²=2AD·AB·AC/AF =>AB/AC=2AD/AF,记AF中点为H
则有AB/AC=AD/AH =>△ADH∽△ABC =>DH⊥AF
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