（2012•道里区三模）在平面直角坐标系中，已知A1(−2，0)，A2(2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，−
（2012•道里区三模）在平面直角坐标系中，已知A1(−
，0)，A2(
，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，−2)，若实数λ使得λ2
•
＝
•
（O为坐标原点）．
（Ⅰ） 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（Ⅱ） 当λ＝
时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），且[
＞1．若存在，求出该直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．
| 2 |
| 2 |
| OM |
| ON |
| A1P |
| A2P |
（Ⅰ） 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（Ⅱ） 当λ＝
| ||
| 2 |
| S△OBE |
| S△EOF |
赞 lingling_xjl 幼苗
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解题思路：（Ⅰ） 由题设条件，知（1-λ2）x2+y2=2（1-λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．
（Ⅱ）由λ＝
，知P点轨迹方程为
+y2＝1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由
＞1，得
＜
＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k2）x2+8kx+6=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．
（Ⅱ）由λ＝
| ||
| 2 |
| x2 |
| 2 |
| S△OBE |
| S△EOF |
| 1 |
| 2 |
| |x1| |
| |x2| |
（Ⅰ）∵A1(−
2，0)，A2(
2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，−2)，
实数λ使得λ2
OM•
ON＝
A1P•
A2P（O为坐标原点）．
∴（1-λ2）x2+y2=2（1-λ2），
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，
②λ=0时方程为x2+y2=2轨迹为圆，
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为
x2
2+
y2
2(1−λ2)＝1轨迹为椭圆，
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为
x2
2−
y2
2(λ2−1)＝1轨迹为双曲线．…（6分）
（Ⅱ）∵λ＝
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查曲线类型的判断，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．
1年前
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