(2012•道里区二模)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥

(2012•道里区二模)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,G为△PAC的重心,E为PB的中点,F在BC上,且CF=2FB.
(1)求证:FG∥平面PAB;
(2)当FG⊥平面AEC时,求二面角P-CD-A的正切值.
琴弦上的梦 1年前 已收到1个回答 举报

SukiYaMaTo 幼苗

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解题思路:(1)欲证FG∥平面PAB,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FG与平面PAB内一直线平行,连接CG延长交PA于M,连BM,根据比例可得FG∥BM,BM⊂平面PAB,FG⊄平面PAB,满足定理条件;
(2)连EM,根据二面角平面角的定义可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角,在△PDA中求出此角的正切值即可.

(1)证明:连接CG交AP于M点
∵G为△PAC的重心,∴[CG/GM=
CF
BF=
2
1],∴FG∥BM,
又BM⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB…(4分)
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AD⊥CD,所以PD⊥CD,所以∠PDA即为二面角的平面角 …(6分)
在直角梯形ABCD中,ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,所以AD=
2…(7分)
连BM,连EM,
∵FG⊥平面AEC,∴FG⊥AE,即BM⊥AE,又EM=[1/2]AB=1,
设EA∩BM=H,则EH=[1/2]HA,
设PA=h,则EA=[1/2]PB=
1
2
4+h2,EH=[1/3]EA=
1
6
4+h2,
∵Rt△AME~Rt△MHE,
∴EM2=EH•EA.

1
2
4+h2•
1
2
4+h2=1,
∴h=2

点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.

考点点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及直线与平面平行的判定,考查面面角,属于中档题.

1年前

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