请教一个几何题：A,B,C,D是圆O的内接四边形,AB,DC交于E,AD,BC交于F,AC,BD交于K,求证：OK⊥EF

请教一个几何题：A,B,C,D是圆O的内接四边形,AB,DC交于E,AD,BC交于F,AC,BD交于K,求证：OK⊥EF
此题有一定难度,主要应用以下定理：
切割线定理：从圆O外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D,则有PA*PB=PC*PD；根据这一定理可以做进一步的探讨,既然PA*PB=PC*PD恒成立,那么从P点引一点过圆心的割线与相交于E和F,同样能满足PA*PB=PC*PD=PE*PF.设圆的半径为R,PE=PO-R,PF=PO+R,从而有PA*PB=PC*PD=PO^2-R^2
相交弦定理：圆内两弦AB与CD相交于M,则AM*BM=CM*DM.
同样该等式恒成立,所以可以从M引一条过圆心的弦与圆分别交于E和F,则AM*BM=CM*DM=EM*FM.而EM=R-MO,FM=R+MO,从而有AM*BM=CM*DM=R^2-MO^2.

证明：∵ABCD是圆O的内接四边形,AB,DC交于E,AD,BC交于F,AC,BD交于K
设圆O半径为R,则有：
FD*FA=FO^2-R^2
KB*KD=R^2-KO^2

作△AKD的外接圆,连接FK并延长与此圆交于G
显然,A、G、K、D四点共圆
∴FK*FG=FD*FA=FO^2-R^2 ①
∵∠FBK=∠FAK（共CD弧,圆O）,∠FAK=∠DGK（共KD弧,作的圆）
∴∠FBK=∠FBD=∠DGK=∠DGF,所以B、G、D、F四点共圆（由同DF弦等角反推）
则,KF*KG=KB*KD=R^2-KO^2 ②
由①-②式得,FK^2=FO^2+KO^2-2R^2 ③

同理,在E点,同样可以得出相同结论,即EK^2=EO^2+KO^2-2R^2 ④
③式减④式可得
FK^2-EK^2=OF^2-OE^2
∴OK⊥EF.