数学分析（无限小数四则运算的定义） “若整数数列递增，并且有上界M，那么这数列必稳定与某一整数ξ≤M”，我对这句话不理解。首先，数列稳定于ξ的定义是： {An}中，每一项都∈Z，存 …
数学分析中的无限小数四则运算定义
在数学分析中，无限小数的四则运算并非直接对无穷序列进行逐位操作，而是建立在实数完备性理论的基础之上。无限小数，无论是循环小数还是非循环小数，本质上都是实数的十进制表示。因此，其加、减、乘、除运算的精确定义，需回归到实数的极限定义。具体而言，一个无限小数对应一个收敛的无穷级数。例如，小数0.a₁a₂a₃... 表示级数 a₁/10 + a₂/10² + a₃/10³ + ... 的和。两个无限小数的运算，即定义为它们所代表的实数（级数和）进行相应的运算。
通过极限与有理数列构造运算
实际操作中，我们通过有限小数（即有理数）的极限来严格定义无限小数的运算。设两个实数α和β分别由无限小数表示。我们可以取它们的n位不足近似值序列{α_n}和{β_n}，这两个序列都是有理数序列，且分别以α和β为极限。那么，实数α与β的和α+β则定义为序列{α_n + β_n}的极限。类似地，差、积、商（除数不为零）也分别定义为相应有理数序列运算后的极限。这种定义确保了运算结果的唯一性与精确性，因为它依赖于实数系的完备性，即柯西序列的极限必存在。
这种定义方式完美解决了无限位运算的困境。它意味着，要计算两个无限小数的和，我们并不需要知道它们每一位的最终信息，而是可以通过计算其任意精度的近似值之和，并通过极限过程来把握最终结果。这正是数学分析处理“无限”问题的核心思想：将无限的、不可完成的过程，转化为有限的、可控制的极限过程来严格描述。因此，无限小数的四则运算，实质上是实数域中代数运算的体现，其逻辑基础坚实而优美。
