已知圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．

（1）∵圆M的圆心在直线2x-y-6=0上，且过点（1，2）、（4，-1）．
∴设圆心坐标为（m，2m-6），半径为r，
则圆的标准范围为（x-m）²+（y-2m+6）²=r²；
则（1-m）²+（2-2m+6）²=r²且（4-m）²+（-1-2m+6）²=r²；
即（m-1）²+（8-2m）²=r²且（m-4）²+（5-2m）²=r²；
解得m=4，r=3，
∴圆M：（x-4）²+（y-2）²=9．
（2）设P（x，y），R（a，b），
则（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，
又PQ²=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²，
故PQ²=8x+4y-12，
PR²=（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11，
又设[PQ/PR＝t为定值，
故8x+4y-12=t²[（8-2a）x+（4-2b）y+a²+b²-11]，
可得

8＝(8−2a)t2
4＝(4−2b)t2
−12＝(a2+b2−11)t2]，
解得

a1＝2
b1＝1
t1＝
2或

a2＝
2
5
b2＝
1
5
t2＝

10
3，
综上，存在点R（2，1）或(
2
5 ，
1
5)满足题意．

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系应用，考查学生的运算能力．