线性代数题,求非退化线性替换求非退化线性替换把下列二次型化为标准型f( X1,X2,X3 ) = X1X2 + 4X2X

用正交变换法
写出二次型的矩阵A如下
0 1/2 0
1/2 0 2
0 2 0
矩阵xE-A为
x -1/2 0
-1/2 x -2
0 -2 x
特征多项式为xE-A的行列式的值x^3-17/4x
特征多项式为零的解为x1=0,x2=√17/2,x3=-√17/2
x1=0时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a1=(-4 0 1)
x2=√17/2时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a2=(1/4 √17/4 1)
x3=-√17/2时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a3=(1/4 -√17/4 1)
将a1,a2,a3分别标准化,得
b1=1/√17(-4 0 1),b2=1/√34(1 √17 4),b3=1/√34(1 -√17 4)
令Q=(b1' b2' b3'),即
令Q为矩阵
-4/√17 1/√34 1/√34
0 1/√2 -1/√2
1/√17 4/√34 4/√34
令x=Qy,即所求的费退化线性变换为
x1=-4/√17y1+1/√34y2+1/√34y3
x2= 1/√2y2 -1/√2y3
x3= 1/√17y3+4/√34y2+4/√34y3
则f=√17/2y2^2-√17/2y3^2
另外本题也可用配方法解
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