数列{an}和{bn}满足an＝1n(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{a

解题思路：先证必要性：若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d，由题意能导出an+1−an＝

d

2

，{a_n}为是公差为[d/2]的等差数列．再证充分性若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d，则能导出b_n+1-b_n=2d，即{b_n}是公差为等差数列．

证明：必要性若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d
则an＝
1
n(nb1+
n(n−1)
2d)＝b1+
n−1
2d
∵an+1−an＝
d
2，∴{a_n}为是公差为[d/2]的等差数列
充分性若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d
则b₁+b₂+…+b_n=n[a₁+（n-1）d]=dn²+（a₁-d）
nb₁+b₂+…+b_n-1=d（n-1）²+（a₁-d）（n-1），（n≥2）
∴b_n=2dn+（a₁-2d），（n≥2）
当n=1时，b₁=a₁也适合
∵b_n+1-b_n=2d，∴{b_n}是公差为2d的等差数列

点评：
本题考点： 等差关系的确定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意证明充要性的证明步骤．

证明充要条件的时候要分两步——即充分性和必要性
首先来证明充分性：
当{bn}为等差数列时，设bn=b1+(n-1)d
an=1/n(Sbn)=1/n(b1n+1/2n(n-1)d)=b1+(n-1)d/2
很明显an就是以b1为首相，d/2为公差的等差数列
接下来证明必要性：
当{an}为等差数列时，设an=a1+(n-1)d
b1+b2+...