（2014•陕西三模）设函数f（x）=2lnx+mx-x2．

（Ⅰ）∵f（x）=2lnx+mx-x²，
∴f′（x）=m+[2/x]-2x，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，
∴f′（1）=m+2-2=2，
∴m=2，
∵f（1）=2-1+2×1+n，
∴n=-1；
（Ⅱ）证明：设g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx．
∴g′（x）=2x+m+[2/x]
∵m＞-4，x＞0，
∴g′（x）=2x+m+[2/x]≥m+4＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上递增，
∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），
∴f（a）+2a²＞f（b）+2b²，
∴
f(a)−f(b)
a2−b2＞-2；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴2lnx₁+mx₁-x₁²=0，2lnx₂+mx₂-x₂²=0，
∴m=x₁+x₂-2•
lnx1−lnx2
x1−x2，
∵f′（x）=m+[2/x]-2x，x₀=
x1+x2
2，
∴f′（x₀）=2（[2
x1+x2-
lnx1−lnx2
x1−x2）=
2
x1−x2•[
2(x1−x2)
x1+x2-（lnx₁-lnx₂）]，
令t=
x1
x2，则t∈（0，1），
∴
2(x1−x2)
x1+x2-（lnx₁-lnx₂）=
2(t−1)/t+1]-lnt
设h（t）=
2(t−1)
t+1-lnt（t∈（0，1）），
则h′（t）=-

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．

考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．

1年前

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