已知f（x）=x3+ax2-x+2，g（x）=xlnx．

（1）f'（x）=3x²+2ax-1
由题意3x²+2ax-1＞0的解集是(−
1
3，1)即3x²+2ax-1=0的两根分别是-[1/3]，1
将x=1或-[1/3]代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+2
（2）设切点坐标是M（x₀，y₀）（x₀≠1）．有
y0−1
x0−1=3x₀²-2x₀-1
将y₀=x₀³-x₀²-x₀+2代入上式整理得2x03−4x02+2x0＝0，即2x0(x0−1)2＝0
得x₀=1或x₀=0．
函数f（x）=x³-x²-x+2的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y-2=0或y=1．
（3）由题意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x²+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx-[3/2x-
1
2x]
设h（x）=lnx-[3/2x-
1
2x]，则h′（x）=-
(x−1)(3x+1)
2x2
令h′（x）=0，得x=1，x=-[1/3]（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数在某点切线方程，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．

1年前

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