（2014•茂名一模）已知函数f（x）=x-[4/x]+clnx，其中c∈R，

（1）当c=0时，f（x）=x-[4/x]，所以f（1）=-3，
f′（x）=1+[4
x2，f′（1）=5
所以切线方程为y+3=5（x-3），即5x-y-8=0
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+
4
x2+
c/x]=
x2+cx+4
x2，
令g（x）=x²+cx+4，其判别式△=c²-16
①当-4≤c≤4时，△≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当c＞4时，△＞0，g（x）=0的两根都小于0，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当c＜-4时，△＞0，设g（x）=0的两根为x₁=
−c−
c2−16
2∈（0，2），x₂=
−c−
c2+16
2＞2，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；
当x＞x₂时，f′（x）＞0；，
故f（x）分别在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递 减．
（3）由（2）可知：当c＜-4时，f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x₁，x₂，
因为f（x₁）-f（x_2）=x₁-x₂+
4(x1−x2)
x1x2+c(lnx1−lnx2)
所以k=
f(x1)−f(x2)
x1−x2=1+[4
x1x2+c
lnx1−lnx2
x1−x2
由（2）可知：x

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数与导数的综合应用，函数与方程的关系，涉及根的个数的判断，属难题．

1年前

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