已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．

解题思路：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM•kPN＝

y

x+1

•

y

x−1

＝λ，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．
（2）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+

y2

2

＝1（x≠±1），由题意知，由题意知，l₁的斜率存在，设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-[1/k]（x-1），代入椭圆方程中整理得（x-1）[（k²+2）x-k²]=0，由此入手能够求出直线AB的方程，最后根据直线的方程得出它过定点．

（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以kPM•kPN＝
y
x+1•
y
x−1＝λ，
整理得x2−
y2
λ＝1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（2）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（7分）
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+
y2
2＝1（x≠±1）
由题意知，l₁的斜率存在
设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-[1/k]（x-1），
将l₁的方程代入椭圆方程中整理得
（x-1）[（k²+2）x-k²]=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂的方程（*）的两个实根，
则x₁=
k2−2
k2+2，∴y₁=[−4k
k2+2，即A（
k2−2
k2+2，
−4k
k2+2），
同理，得B（
1−2k 2
2k2+1，
4k
2k2+1），
∴直线AB的斜率为k_AB=

4k
2k2+1−(
−4k
k2+2)

1−2k 2
2k2+1−
k2−2
k2+2=
3k
1−k2（k≠±1）
∴直线AB的方程为：y+
4k
k2+2=
3k
1−k2（x-
k2−2
k2+2），
化简得：y=
3k
1−k2（x+
1/3]），它恒过点（-[1/3]，0）
k=±1时，直线AB也过点（-[1/3]，0）．
∴直线AB过点（-[1/3]，0）．（13分）．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值不等式的合理运用．