对于函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1） （a＞0）

解题思路：（Ⅰ）根据负数没有对数求出f（x）的定义域，然后求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，在定义域内根据x的值，判断导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅱ）把a=1代入f（x）及导函数中，确定出f（x）的导函数及f′（0）的值，进而得到a_n的通项，把求得的a_n的通项代入所证的不等式中化简，即要证[1/n+1]＜ln[n+1/n]＜[1/n]，令g（x）=x-ln（1+x），求出g（x）的导函数，找出g（x）的单调增区间为（0，+∞），又根据g（x）在x=0处连续，所以得到g（[1/n]）大于g（0），化简后得到一个不等式，记作①，然后令φ（x）=ln（x+1）-[x/1+x]，求出φ（x）的导函数，根据导函数大于0，找出φ（x）的增区间为[0，+∞），也得到φ（[1/n]）大于φ（0），代入化简后得到令一个不等式，记作②，联立①②，得证；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n的通项代入b_n=−

1

an

，得到b_n的通项，罗列出前n项的和T_n的各项，再根据（Ⅱ）的结论，分别令n=1，2，…，2010，代入不等式中，将各式相加，利用对数的运算法则及已知化简后，得证．

（Ⅰ）由已知的函数定义域为（-1，+∞）且f′（x）=a-[a+1/x+1]=[ax−1/x+1]，
令f′（x）=0，解得x=[1/a]（a＞0），
（i）当x∈（-1，[1/a]）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，[1/a]）内单调递增；
（ii）当x∈（[1/a]，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（[1/a]，+∞）内单调递减，
所以函数f（x）的单调减区间是（-1，[1/a]），增区间是（[1/a]，+∞）；
（Ⅱ）由已知a=1时，f′（x）=1-[2/x+1]，
∴a₁=f′（0）=-1，n≥2时，a_n=[2
f′(n−1)−1=-n，
∴a_n=-n（n∈N⁺），
于是，所证不等式即为：
(1+
1/n)−(n+1)＜
1
e]＜(1+
1
n)−n⇔(1+
1
n)n＜e＜(1+
1
n)n+1⇔nln（1+[1/n]）＜1＜（n+1）ln（1+[1/n]）
即[1/n+1]＜ln[n+1/n]＜[1/n]，
为此，令g（x）=x-ln（1+x）⇒g′（x）=1-[1/1+x]=[x/1+x]，
∴当x∈（0，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（x）在x=0处连续，
∴n∈N⁺，g（[1/n]）＞g（0）=0⇒[1/n]-ln（1+[1/n]）＞0，①
设φ（x）=ln（x+1）-[x/1+x]，x∈[0，+∞），
得：φ′（x）=[1/x+1]-
1
(1+x)2=
x
(1+x)2，
当x＞0时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）内是增函数，
所以φ（x）在[0，+∞）内是增函数．
当n∈N⁺时，φ（[1/n]）＞φ（0）=0，
即ln（1+[1/n]）-

1
n
1+
1
n＞0⇒[1/1+n]＜ln（1+n）②，
由①②得：[1/n+1]＜ln[n+1/n]＜[1/n]，即(1−
1
an)an+1＜
1
e＜(1−
1
an)an；
（Ⅲ）由b_n=-[1
an=
1/n]，则T_n=1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]，
由（Ⅱ）可知[1/n+1]＜ln[n+1/n]＜[1/n]，
令n=1，2，3，…，2010，并将各式相加得：
[1/2]+[1/3]+…+[1/2011]＜ln[2/1]+ln[3/2]+…+ln[2011/2010]＜1+[1/2]+[1/3]+…+[1/2010]，
即T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 此题考查了由导函数的正负确定函数的单调区间，考查了数列与函数及不等式的综合，是一道中档题．此题的难点为第二问中不等式的证明．