已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2,x轴被抛物线C2:y=x^2-b
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2,x轴被抛物线C2:y=x^2-b截得的线段长等于C1的...
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2,x轴被抛物线C2:y=x^2-b截得的线段长等于C1的长半轴长设C2于y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.(ì)证明：MD⊥ME (ìì)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,问：是否存在直线L,使得S1/S2=17/32?请说明理由.
已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2,x轴被抛物线C2:y=x^2-b截得的线段长等于C1的长半轴长设C2于y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.(ì)证明：MD⊥ME (ìì)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,问：是否存在直线L,使得S1/S2=17/32?请说明理由.
赞 scott1972 种子
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粗枝大叶害死人!明明是交点非要写成焦点!
e=√3/2=c/a,∴b=a/2
y=x^2-b截得的线段长2√b=a
解得a=2,b=1
∴M点坐标为(0,-1)
设A,B,D,E横坐标分别为：m,n,p,q,设直线L方程为y=kx,代入抛物线方程消去y得：x²-kx-1=0
由韦达定理可知m+n=k,mn=-1
MA斜率K1=[(m²-1)-(-1)]/m=m,MB斜率K2=n
∴K1*K2=mn=-1
∴MA⊥MB,即MD⊥ME
MA方程为y=mx-1,与椭圆方程联立解得：p=8m/(4m²+1)
同理可得：q=8n/(4n²+1)
S1/S2=(MA*MB)/(MD*ME)=(MA/MD)*(MB/ME)=(m/p)*(n/q)=(mn)/(pq)
=(4m²+1)(4n²+1)/64=[16(mn)²+4(m²+n²)+1]/64
代入mn=-1,m²+n²=(m+n)²-2mn=k²+2得：
S1/S2=(4k²+25)/64=17/32
解得k=±1.5
故存在直线L=±1.5x使得S1/S2=17/32
e=√3/2=c/a,∴b=a/2
y=x^2-b截得的线段长2√b=a
解得a=2,b=1
∴M点坐标为(0,-1)
设A,B,D,E横坐标分别为：m,n,p,q,设直线L方程为y=kx,代入抛物线方程消去y得：x²-kx-1=0
由韦达定理可知m+n=k,mn=-1
MA斜率K1=[(m²-1)-(-1)]/m=m,MB斜率K2=n
∴K1*K2=mn=-1
∴MA⊥MB,即MD⊥ME
MA方程为y=mx-1,与椭圆方程联立解得：p=8m/(4m²+1)
同理可得：q=8n/(4n²+1)
S1/S2=(MA*MB)/(MD*ME)=(MA/MD)*(MB/ME)=(m/p)*(n/q)=(mn)/(pq)
=(4m²+1)(4n²+1)/64=[16(mn)²+4(m²+n²)+1]/64
代入mn=-1,m²+n²=(m+n)²-2mn=k²+2得：
S1/S2=(4k²+25)/64=17/32
解得k=±1.5
故存在直线L=±1.5x使得S1/S2=17/32
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