设a、b、c、d是四个整数,且m=（ab-cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)/4是非零整数,求证：m的绝对值
设a、b、c、d是四个整数,且m=（ab-cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)/4是非零整数,求证：m的绝对值是合数.
是1/4(a^2+b^2-c^2-d^2）不是1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2
是1/4(a^2+b^2-c^2-d^2）不是1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2
赞 缘来缘浅 幼苗
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M=(ab+cd)^2-1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2
=(1/4)[4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]
=(1/4)[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]
=(1/4)(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)
因为M是非0整数,所以(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)是4的整数倍
因此|M|是合数
=(1/4)[4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]
=(1/4)[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]
=(1/4)(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)
因为M是非0整数,所以(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)是4的整数倍
因此|M|是合数
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