地下室的猪猪
春芽
共回答了18个问题采纳率:88.9% 举报
由旋转体的性质,将旋转体x轴平均分割成每段dx .则
每个旋转体可看成小圆柱体,则整个旋转体可看成这些圆柱体的体积和
而圆柱体体积为:
V1=π*[f(x)]^2*dx
所以旋转体的体积为:
V=∫π*[f(x)]^2*dx 其中积分区域为 x=1到x=t
而绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
则∫π*[f(x)]^2*dx=π/3[t^2f(t)-f(1)]
两边对t求导得
π*[f(t)]^2=π/3*2tf(t)+π/3t^2f'(t)
化简得
f'(t)+2/tf(t)-3[f(t)]^2=0
令h=1/f(t)
则可化为:
dh/dt-2h/t+3/t^2=0
为一阶线性非其次方程,使用公式可知:
h=e^∫(2/t)dt(C+∫e^∫(-2/t)*(-3/t^2)dt
h=t^2(C+1/t^3)
所以f(t)=1/[t^2(C+1/t^3)]
因为y(2)=2/9
则2/9=1/[2^2(C+1/2^3)]
则C=1
所以
f(x)=1/[x^2(1+1/x^3)]=x/(x^3+1)
1年前
7