已知f（x）=ax+[b/x]+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．

解题思路：（1）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可求a，b满足的关系式；
（2）构造g（x）=f（x）-2lnx，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；
（3）取a=1得f（x）=x-[1/x]，利用a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

，可得{

1

an−1

}是等差数列，首项为

1

a1−1

＝1，公差为1，从而可得数列通项，即可证得结论．

（1）求导函数可得f′（x）=a-[b
x2，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；
（2）由（1）知，f（x）=ax+
a−2/x]+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+[a−2/x]+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=
a(x−1)(x−
2−a
a)
x2
①当0＜a＜1时，[2−a/a＞1，若1＜x＜
2−a
a]，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；
②a≥1时，[2−a/a≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求的取值范围是[1，+∞）；
（3）证明：取a=1得f（x）=x-
1
x]，所以a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-[1
an
∴a_n+1-1=
an−1
an，∴
1
an+1−1=
1
an−1+1
∴{
1
an−1}是等差数列，首项为
1
a1−1＝1，公差为1，
∴
1
an−1=n，∴an＝
n+1/n]
∴a₁•a₂•…a_n=[2/1]•[3/2]•…•[n+1/n]=n+1．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．