（理）已知f（x）=ax+ b x +2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．

（Ⅰ）求导函数，可得 f′(x)=a-
b
x 2 ，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2…3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+
a-2
x +2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+
a-2
x +2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=
a(x-1)(x-
2-a
a )
x 2
①当0＜a＜1时，
2-a
a ＞1 ，
若1＜x＜
2-a
a ，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，
2-a
a ≤1 ，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）…8分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得 x-
1
x ≥2lnx ，令 x=
2n+1
2n-1 ＞ 1得
2n+1
2n-1 -
2n-1
2n+1 ＞2ln
2n+1
2n-1 ，
即
2
2n-1 -
2
2n+1 ＞2ln
2n+1
2n-1
所以
1
2n-1 ＞
1
2 ln
2n+1
2n-1 +
1
2 (
1
2n-1 -
1
2n+1 )
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到 1+
1
3 +
1
5 + …+
1
2n-1 ＞
1
2 ln(2n+1)+
n
2n+1 （n∈N ₊ ）…13分．