正三棱锥ABC-A1B1C1中侧面是正方形,E和F分别是棱CC1、A1B1的中点,AB=a 1.求C1F和平面A1BE间

(1)取A1B的中点为D,连接DE,DF.知DF//BB1. DF = (1/2)BB1 (中位线定理)
又BB1//EC1, EC1 = (1/2)BB1. 即知四边形DEC1F为平行四边形.
故:FC1//DE. 即知C1F//平面A1BE.(平行于平面上的一直线,就平行于这平面).
故直线C1F上任何点到平面A1BE的距离都相等.
以下求C1点到这平面的距离.(用体积法)
考察四面体C1-A1BE.高C1到A1BE的距离为d.
在三角形A1BE中:BE = A1E =a(根号5)/2,A1B = a(根号2).
A1BE为等腰三角形,求得底边上的其高:h =a(根号3)/2.
其面积为S = (a^2)*(1/2)(根号2)(根号3)/2
= (a^2)(根号6)/4.(***)
故四面体C1-A1BE的体积V = (1/3)S*d = (a^2) [(根号6)/12]*d(a)
再以三角形BEC1为底,计算其体积V, 容易知道:其底面积为A= (1/4)a^2. 其高为:A1到BCC1B1的距离,即为a(根号3)/2.
故得V = (1/3)*[(a^2)/4] *a(根号3)/2 = (a^3)(根号3)/24(b)
由(a), (b) 得:(a^2) [(根号6)/12]*d =a^3)(根号3)/24
得: d = a(根号2)/4.
(2) (用投影定理)
设平面A1BE与底面ABC构成的二面角的大小为:α.
三角形ABC的面积为P = (a^2)(根号3)/4,
由(***)知三角形A1BE的面积为S=(a^2)(根号6)/4.
由投影定理P = S*cosα.
得cosα = P/S = (根号2)/2.
知α=45度
即为所求.