2a2 |
x |
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(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=x+
2a2
x+alnx,∴f′(x)=1-
2a2
x2+[a/x]=
(x+2a)(x−a)
x2,
当a=0时,f′(x)=1>0,所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当a>0时,由f′(x)>0,即
(x+2a)(x−a)
x2>0,解得x>a,所以f(x)的单调递增区间是(a,+∞);
当a<0时,由f′(x)>0,即
(x+2a)(x−a)
x2>0,解得x>-2a,所以f(x)的单调递增区间是(-2a,+∞).
(II)当a=1时,g(x)=1-[2
x2+
1/x],假设存在实数k,使得g(x)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k,
即对任意x2>x1>0,都有
g(x2)−g( x1)
x2−x1≥k,亦即g(x2)-kx2≥g(x1)-kx1,
可设函数h(x)=g(x)-kx=1-[2
x2+
1/x]-kx(x>0),
故问题等价于h′(x)=[4
x3-
1
x2-k≥0,即k≤
4
x3-
1
x2对x>0恒成立,
令t=
1/x],则F(t)=4t3-t2(t>0),所以F′(t)=12t2-2t,
令F′(t)=0,解得t=0(舍去)或t=[1/6],
当t变化时,F(t)与F′(t)的变化情况如下表:
故知F(t)在(0,[1/6])内单调递减,在(
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数、导数等基础知识,考查了推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查了函数与方程的思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想,是一道中档题.
1年前
1年前1个回答
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(2011•河南模拟)已知函数f(x)=ex+2x2-3x.
1年前1个回答