函数f（x）=ax3+bx2的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直．

解题思路：（1）求导函数，利用函数f（x）=ax³+bx²的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直，建立方程组，这样可以求出a，b的值；
（2）根据（1）得到函数，导函数的解析式，确定函数的单调增区间，利用函数f（x）在区间（m-1，m+1）上单调递增，可建立不等关系，这样就可以求实数m的取值范围

（1）∵f（x）=ax³+bx²，∴f'（x）=3ax²+2bx
由已知函数f（x）=ax³+bx²的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直
可得

f(1)＝4
f′(1)＝9即

a+b＝4
3a+2b＝9
解得a=1，b=3…（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²
∴f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）
由f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，∴f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）上单调递增…（9分）
∵函数f（x）在区间（m-1，m+1）上单调递增，
∴m+1≤-2或m-1≥0，即m≤-3或m≥1，
∴实数m的取值范围是m≤-3或m≥1，…（13分）

点评：
本题考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 导数的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率，依此可以解决切线问题，函数在区间上单调递增，这个区间是函数增区间的子区间，要牢牢记住．