8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)

两边对x求导
f(x)x^2=f'(x)+3
f'-x^2 f=-3
两边同乘积分因子exp(∫-x^2 dx)=exp(-x^3/3)
左边就是一个全微分
(fexp(-x^3/3))'=-3exp(-x^3/3)
fexp(-x^3/3)=-3∫[0,x] exp(-t^3/3)dt+C
f=-3exp(x^3/3)∫[0,x] exp(-t^3/3)dt+Cexp(x^3/3)
对于原式代入x=0
0=f(0)+0
f(0)=0为初始条件
代入解
0=0+C
C=0
f(x)=-3exp(x^3/3)∫[0,x] exp(-t^3/3)dt