dy/dx=xy的通解 求解方程y'''+y=sinx

dy/dx=xy
1/ydy=xdx
两边积分,得
ln|y|=1/2x²+ln|c|
y=ce^(1/2x²)
r³＋1=0
r1=-1,r2=1/2+根号3/2i
r3=1/2-根号3/2i
即齐次通解Y=c1e^(-x)+e^(1/2x)(c2cos根号3/2x+c3sin根号3/2x)
设特解为y*=(acosx+bsinx)
y*'=-asinx+bcosx
y*''=-acosx-bsinx
y*'''=asinx-bcosx
代入,得
asinx-bcosx+acosx+bsinx=sinx
(a+b)sinx+(a-b)cosx=sinx
a+b=1
a-b=0
所以
a=b=1/2
即y*=1/2cosx+1/2sinx
所以
通解为
y=Y+y*
=c1e^(-x)+e^(1/2x)(c2cos根号3/2x+c3sin根号3/2x)
+1/2cosx+1/2sinx