已知双曲线x^2-y^2=1的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线

已知双曲线x^2-y^2=1的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线
（2013绍兴市模拟）已知双曲线x^2-y^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于OA两点,若三角形AOF的面积为b^2,则双曲线的离心率为?
答案是根号5/2
请问具体怎么算呢,有没有简便的方法?

aapet 1年前已收到1个回答举报

cxhzyq 幼苗

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双曲线x^2-y^2=1(a>0,b>0)
右焦点为F(c,0),
过第一象限的渐近线L:y=b/ax,即bx-ay=0
L交圆与A,那么OA⊥AF,
|AF|为点F到渐近线L的距离,
根据点到之线距离公式
|AF|=|bc|/√(a²+b²)=bc/c=b
三角形OAF中,
|OA|=√(|OF|²-|AF|²)=√(c²-b²)=a
∴三角形AOF的面积
S=1/2*a*b=b^2
∴b=1/2a
∴c²=a²+b²=5/4a²
e²=c²/a²=5/4
∴e=√5/2

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