如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转

（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。

∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。

又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，



∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。

∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E。

在△APD和△P′AE中，

∵ ，

∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。

（3）∵ ，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。

在Rt△AEP′中， ，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。

∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。

∴ 。即 。∴ 。

在Rt△ABP′中， ，即 。

解得AB=10



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