如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，连接OB、OD．已知∠A=30°，

（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-∠A=60°，
∵DC⊥OA，
∴CD是⊙O的切线，
∴∠BOD=
1
2 ∠AOB=30°，
∵⊙O的半径为4，
即OB=4，
∴BD=OB•tan∠BOD=4×

3
3 =
4
3
3 ；

（2）∵在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴AB=
OB
tan∠A =4
3 ，
∴AD=AB-BD=
8
3
3 ，
∵DC⊥OA，
∴CD=
1
2 AD=
4
3
3 ，
∴AC=
A D 2 -C D 2 =4，
∴S _阴影 =S _△AOB -S _△ACD -S _扇形OBC =
1
2 ×4×4
3 -
1
2 ×4×
4
3
3 -
60×π× 4 2
360 =
16
3
3 -
8
3 π．