飛and911
幼苗
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解题思路:(1)数列{a
n}中,由
a1=2,an+1=4an−3n+1,n∈N*,知
an+1−(n+1)=4(an−n),n∈N*,a
1-1=1,由此能够证明数列{a
n-n}是等比数列,并求出数列{a
n}的通项公式.
(2)由(1)得
bn==,故
Sn=1+2×+3×+…+(n−1)×+n×,由错位相减法能求出
Sn=(1−)−,由此能够
Sn+bn>.
(1)∵数列{an}中,a1=2,an+1=4an−3n+1,n∈N*,
∴an+1−(n+1)=4(an−n),n∈N*,a1-1=1,
∴数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列,
∴an−n=1×4n−1,an=4n−1+n.
(2)由(1)得bn=
n
an−n=
n
4n−1,
∴Sn=1+2×
1
4+3×
1
42+…+(n−1)×
1
4n−2+n×
1
4n−1,
则[1/4Sn=1×
1
4+2×
1
42+…+(n−1)×
1
4n−1]+n×
1
4n,
相减得[3/4Sn=(1+
1
4+
1
42+…+
1
4n−1)−n×
1
4n]=[4/3(1−
1
4n)−n×
1
4n],
∴Sn=
16
9(1−
1
4n)−
n
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列递推式.
考点点评: 本题考查等比数列的证明和通项公式的求法,考查不等式的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注意构造法和错位相减法的合理运用.
1年前
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