函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域

y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得,y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值 = -1
当T=√2时,y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ]
☆⌒_⌒☆ 希望可以帮到you~

由题知，
函数y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=t
则t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以，
sinxcosx=[(sinx+cosx)²-(sin²+cos²x)]/2
=[t²-1]/2
所以，
y=t²/2+t-1...

令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
故：-√2≤t≤√2
故：t²=1+2sinxcosx
故：sinxcosx=（t²-1）/2
故：f（x）=sinx+cosx+sinxcosx
=t+（t²-1）/2
=1/2•(t²+2t-1)
=1/2•(t+1)
...

y=sinx+cosx+sinxcosx
=sinx+cosx+[(sinx+cosx)^2-1]/2
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
则y=t+(t^2-1)/2=(t+1)^2/2-1
因为t∈[-√2,√2]
所以-1≤y≤(√2+1)^2/2-1=√2+1/2

值域[-1，1/2+√2]