（2013•天津一模）已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数

解题思路：（I）利用等差数列的通项公式即可得到S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，再利用等比数列的定义及S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，可得（1+2d）²=1×（2+7d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．

（Ⅰ）由题意S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，
∵S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，
∴（1+2d）²=1×（2+7d），
解得d＝−
1
4（舍去）或d=1
∴a_n=n，
Sn＝
n(n+1)
2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn＝
1
Sn＝
2
n(n+1)＝2(
1
n−
1
n+1)
∴b₁+b₂+…+b_n=2[(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)]=2(1−
1
n+1)＜2
即b₁+b₂+…+b_n＜2．

点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．

考点点评： 熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和是解题的关键．