如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r

（1）证明：取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，
∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，
∵BC是∠DBE平分线，
∴∠DBC=∠CBA，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），
∴[OC/BD=
CE
DE]，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，
∵OC=r，
∴BD•CE=DE•r．
∵∠D=90°，∠E=30°，
∴∠DBE=60°，
∴∠CBE=[1/2]∠DBE=30°，
∴∠CBE=∠E，
∴CE=BC，
∴BC•BD=r•ED．
（2） BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，
设圆的半径长是r，则OC=OA=r，
∵OC∥DB，
∴△OCE∽△BDE，
∴[OC/BD]=[OE/BE]=[CE/DE]，即[r/3]=[OE/5]=[CE/4]
解得：OE=[5/3]r，CE=[4/3]r．
CH=[OC•CE/OE]=[4/5]r，
∵BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，
∴BH=BD=3，
则HE=2．
∴CD=CH=[4/5]r．
在直角△CHE中，根据勾股定理得：CH²+EH²=CE²，
即（[4/5]r）2+2²=（[4/3]r）²，解得：r=[15/8]，
则AE=BE-2r=5-[15/4]=[5/4]．

点评：
本题考点： 切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定．

考点点评： 本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．

1年前

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