已知函数f（x）=[1−a+lnx/x]，a＞0．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)＝
a−lnx
x2，令f′（x）=0得x=e^a
当x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）为为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于a=1，所以不等式f（x）-k＜0在区间（0，+∞）上恒成立，即[lnx/x＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)＝
lnx
x，(x＞0)
由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值
1
e]，
∴k＞
1
e．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．

1年前

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