在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB=[2sinC/cosA]．

解题思路：（Ⅰ）切化弦，可整理为tanA+tanB=[sinC/cosAcosB]，结合已知tanA+tanB=[2sinC/cosA]，可求得cosB=[1/2]，在△ABC中，可求得B的值；
（Ⅱ）由[a/c]+[c/a]=3，易求

b2

ac

=2，利用正弦定理可得

b2

ac

=

sin2B

sinAsinC

=[3/4sinAsinC]=2，从而可求得[1/tanA]+[1/tanC]的值．

（Ⅰ）∵tanA+tanB=[sinA/cosA]+[sinB/cosB]=[sinAcosB+cosAsinB/cosAcosB]=
sin(A+B)
cosAcosB=[sinC/cosAcosB]，…（3分）
∵tanA+tanB=[2sinC/cosA]，
∴[sinC/cosAcosB]=[2sinC/cosA]，
∴cosB=[1/2]，
∵0＜B＜π，
∴B=[π/3]．…（6分）
（Ⅱ）∵[a/c]+[c/a]=
a2+c2
ac=
b2+2accosB
ac=
b2+2ac×
1
2
ac=3，
∴
b2
ac=2，…（9分）
而
b2
ac=
sin2B
sinAsinC=
sin2
π
3
sinAsinC=[3/4sinAsinC]，
∴sinAsinC=[3/8]．…（12分）
∴[1/tanA]+[1/tanC]=[cosA/sinA]+[cosC/sinC]=
sin(A+C)
sinAsinC=[sinB/sinAsinC]=

3
2sinAsinC=
4
3
3．…（14分）

点评：
本题考点： 正弦定理；余弦定理．

考点点评： 本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．