如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC

①证明：连接对角线AC交BD于点O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=
1
3 PC ，∴OM ∥ AN．
又∵AN⊄平面MBD，OM⊂平面MBD．
∴AN ∥ 平面MBD；
②距离如图所示的空间直角坐标系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M点为线段PC的三等分点，∴M（4，2，1）．
∴

DB =(-6，3，0) ，

DM =(-2，2，1) ．
设平面BMD的法向量

n =(x，y，z) ．
则



n •

DB =0


n •

DM =0 即

-6x+3y=0
-2x+2y+z=0 ，令y=2，则x=1，z=
5
2 ．
∴

n =(1，2，
5
2 ) ．
∵PA⊥平面BCD，∴可取

AP =（0，0，3）作为平面BCD的法向量．
∴ cos＜

n ，

AP ＞ =


n •

AP
|

n ||

AP | =
3×
5
2

1 2 + 2 2 +(
5
2 ) 2
3 2 =

5
3 ．
∴二面角M-BD-C的余弦值为

5
3 ．