（2005•温州一模）已知函数f(x)＝lnx−2x−4+x4

解题思路：（1）由导数运算法则知，f/(x)＝

x(x−6)

4(x−2)(x−4)

，再利用导数与单调性关系解得即可；
（2）设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，欲证f（x）的图象是中心对称图形即证P关于(3，

3

4

)的对称点是Q(6−x，

3

2

−f(x))还在图形上，只须证明：f(6−x)＝ln

4−x

2−x

+

6−x

4

＝

3

2

−f(x)即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a、b．再利用函数的单调性问题利用导数解决，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

（1）f/(x)＝
x(x−6)
4(x−2)(x−4)．（2′）注意到[x−2/x−4＞0，得x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
解
x(x−6)
4(x−2)(x−4)＝0得x=6或x=0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） 0 （0，2） （4，6） 6 （6，+∞）
f′（x） + 0 - - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗所以f(0)＝ln
1
2]是f（x）的一个极大值，f(6)＝ln2+
3
2是f（x）的一个极大值..（4′）
（2）点（0，f（0）），（6，f（6））的中点是(3，
3
4)，所以f（x）的图象的对称中心只可能是(3，
3
4)．（6′）
设P（x，f（x））为f（x）的图象上一点，P关于(3，
3
4)的对称点是Q(6−x，
3
2−f(x))．∵f(6−x)＝ln
4−x
2−x+
6−x
4＝
3
2−f(x)．
∴Q也在f（x）的图象上，因而f（x）的图象是中心对称图形．（8′）
（3）假设存在实数a、b．∵[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，当x∈[a，b]时，f(x)≤f(0)＝ln
1
2＜0，而[b/4≥0
∴f(x)≠
b
4]．故此时f（x）的取值范围是不可能是[
a
4，
b
4]．（10′）
若4＜a≤6，当x∈[a，b]时，f(x)≥f(6)＝ln2+
3
2＞
3
2，而[a/4≤
3
2]
∴f(x)≠
a
4．故此时f（x）的取值范围是不可能是[
a
4，
b
4]．（12′）
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的单调递增区间是（-∞，0），（6，+∞），
知a，b是f(x)＝
x
4的两个解．而f(x)−
x
4＝ln

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；对称图形．

考点点评： 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，还考查了函数图象中心对称的性质的应用，即函数的对称中心的坐标是（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，由此恒等式进行求值．