爱情为何如此悲伤 春芽
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(1)∵函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c,
∴f′(x)=6x2+6ax+3b.
∵函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
∴
f′(1)=6+6a+3b=0
f′(2)=24+12a+3b=0,解得
a=−3
b=4.
∴f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
经验证当a=-3,b=4时,函数f(x)在x=1及x=2时取得极值.
∴a=-3,b=4.
∴f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f(3)=9+8c,切点(3,9+8c).
又f′(3)=12,
∴函数在x=3处的切线方程为y-9-8c=12(x-3),即12x-y-27+8c=0;
(2)由(1)可知:f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
令f′(x)=0,解得x=1,2.列表如右:
由表格可知:函数f(x)在区间[0,1),(2,3]上单调递增;在区间(1,2)上单调递减.
∴函数f(x)在x=1处取得极大值,且f(1)=5+8c.
而f(3)=9+8c,∴f(1)<f(3),
∴函数f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)=9+8c.
对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立⇔f(x)max<c2,x∈[0,3]⇔9+8c<c2,
由c2-8c-9>0,解得c>9或c<-1.
∴要求的c的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 充分利用导数求函数的极值及对要求的问题正确转化是解题的关键.
1年前
你能帮帮他们吗